Questão 11 de Sequência recursiva estilo UNICAMP resolvida

Enunciado

Uma sequência é definida por $a_1=2$ e $ a_{n+1}=a_n+2n+1,\qquad n=1,2,3,\ldots $ O menor valor de $n$ para o qual $a_n$ supera 1.000 é

• A: 30.
• B: 31.
• C: 33.
• D: 32.

Resolução comentada

Resposta: D

Os acréscimos $2n+1$ são as diferenças sucessivas entre quadrados: $(n+1)^2-n^2=2n+1$. Como $a_1=1^2+1$, segue-se que $a_n=n^2+1$. Para superar 1.000, exige-se $n^2+1>1000$. O termo de índice 31 é $31^2+1=962$, enquanto o de índice 32 é $32^2+1=1025$. Portanto, o menor índice é 32. A condição é estrita: igualar 1.000 não seria suficiente.