Questão 12 de Permutações com repetição e inclusão-exclusão estilo UNICAMP resolvida

Enunciado

As seis peças de uma instalação formam uma sequência linear: duas peças do tipo A, duas do tipo B e duas do tipo C. Peças do mesmo tipo são indistinguíveis. A instalação não admite duas peças A adjacentes nem duas peças B adjacentes; as duas peças C podem ficar juntas. Quantas sequências distintas satisfazem essas condições?

• A: 42.
• B: 30.
• C: 48.
• D: 60.

Resolução comentada

Resposta: A

Sem restrições, existem $6!/(2!2!2!)=90$ sequências. Tratando o par AA como um bloco, há $5!/(2!2!)=30$ sequências proibidas; o mesmo vale para BB. Nas sequências em que aparecem simultaneamente AA e BB, os dois blocos e as duas peças C formam quatro objetos, com $4!/2!=12$ arranjos. Pela inclusão-exclusão, o total permitido é $ 90-30-30+12=42. $ Somar novamente as 12 sequências é necessário porque foram subtraídas duas vezes. O par CC permanece sem restrição.