Questão 16 de Gravitação e escala estilo UNICAMP resolvida

Enunciado

Um planeta hipotético tem raio igual à metade do raio da Terra, mas apresenta a mesma densidade média da Terra. Para um corpo na superfície de cada planeta, compare o módulo da aceleração gravitacional $g$ e a velocidade de escape $v_{\mathrm{esc}}$. Note e adote: para uma esfera, $M=\rho(4\pi R^3/3)$, $g=GM/R^2$ e $v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{2gR}$. Nesse planeta hipotético, em relação à Terra, os valores de $g$ e $v_{\mathrm{esc}}$ são, respectivamente,

• A: metade e $1/\sqrt2$.
• B: um quarto e metade.
• C: o dobro e metade.
• D: metade e metade.

Resolução comentada

Resposta: D

Mantida a densidade, a massa varia com $R^3$. Logo, $g=GM/R^2$ varia proporcionalmente a $R$, e cai à metade. Já $v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{2gR}$ varia como $\sqrt{R\cdot R}=R$: também cai à metade. Embora o raio seja reduzido pela metade, a massa passa a $1/8$ da massa terrestre, e não à metade.