Questão 5 de Geometria plana e otimização quadrática estilo UNICAMP resolvida

Enunciado

Um terreno retangular será cercado em três lados, aproveitando-se um muro no quarto lado. Duas divisórias internas, perpendiculares ao muro, formarão três espaços retangulares adjacentes. O esquema indica por $x$ a profundidade do terreno e por $y$ seu comprimento junto ao muro. Há 40 m de cerca disponíveis, usados integralmente nos lados externos e nas duas divisórias.  A maior área total possível do terreno é

• A: $80\ \text{m}^2$.
• B: $100\ \text{m}^2$.
• C: $112{,}5\ \text{m}^2$.
• D: $160\ \text{m}^2$.

Resolução comentada

Resposta: B

A cerca compreende o lado de comprimento $y$, os dois lados externos de profundidade $x$ e as duas divisórias, também de comprimento $x$. Portanto, $y+4x=40$. A área é $ A=xy=x(40-4x)=100-4(x-5)^2. $ Ela atinge o máximo de $100\ \text{m}^2$ quando $x=5$ m e $y=20$ m. Contar apenas os dois lados externos levaria a outra restrição e desconsideraria as divisórias mostradas no desenho.