Questão 7 de Geometria analítica e área de quadrilátero estilo UNICAMP resolvida

Enunciado

Um lote tem vértices $A=(0,0)$, $B=(12,0)$ e $C=(0,9)$, medidos em metros. O ponto $D=(6,0)$ divide $AB$ ao meio e o ponto $E=(0,3)$ pertence a $AC$. Duas trilhas retilíneas ligam $C$ a $D$ e $B$ a $E$; elas se cruzam em $P$. A região cercada pelo quadrilátero $ADPE$ está sombreada na figura.  A área da região sombreada, em metros quadrados, é

• A: $\dfrac{27}{2}$.
• B: $18$.
• C: $\dfrac{63}{5}$.
• D: $\dfrac{126}{5}$.

Resolução comentada

Resposta: C

A reta $BE$ passa por $(12,0)$ e $(0,3)$, portanto sua equação é $y=3-x/4$. A reta $CD$ passa por $(0,9)$ e $(6,0)$, logo $y=9-3x/2$. Igualando as expressões, obtemos $x_P=24/5$ e $y_P=9/5$. O quadrilátero $ADPE$ pode ser decomposto nos triângulos $ADP$ e $AEP$. Suas bases medem 6 e 3 m, e suas alturas correspondentes medem $9/5$ e $24/5$ m. A área procurada é $ \frac{6(9/5)}2+\frac{3(24/5)}2=\frac{27}{5}+\frac{36}{5}=\frac{63}{5}\ \text{m}^2. $ Usar toda a área do triângulo $ABC$ incluiria regiões fora da cerca.