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Impulso, rotação e condições de saída

ITA · 2ª fase

Um disco rígido homogêneo de massa $M$ e raio $R$ repousa com suas faces paralelas a uma mesa horizontal sem atrito. O movimento de translação e a trajetória do projétil estão no plano horizontal xy; adote o eixo vertical positivo $\hat z=\hat x\times\hat y$. Seu momento de inércia em torno do eixo perpendicular que passa pelo centro é $I=MR^2/2$. Um projétil de massa $m$ atravessa o disco numa colisão muito breve: entra com velocidade $u\,\hat{x}$ e sai com velocidade $(u/3)\,\hat{x}$. A trajetória do projétil durante a travessia é retilínea, a uma distância $b$ do centro inicial do disco, com $0<b<R$. A duração é tão curta que se desprezam os deslocamentos e a mudança de orientação do disco durante a travessia. A saída ocorre pela borda a jusante, no ponto inicialmente em $(\sqrt{R^2-b^2},b)$, com componente da velocidade relativa ao disco estritamente positiva na direção normal exterior da borda. Não há perda de massa do disco nem impulso externo horizontal. Considere $y$ positivo do centro para a linha do projétil. (a) Determine a velocidade do centro do disco e sua velocidade angular logo após a colisão. (b) Escolha $b$ para que o ponto da borda inicialmente em $(0,-R)$ tenha velocidade instantaneamente nula em relação à mesa logo após a colisão. Interprete esse ponto como centro instantâneo de rotação e explique por que o mesmo ponto material não permanece parado nos instantes seguintes. (c) Para o valor de $b$ do item (b), obtenha a energia dissipada. Determine separadamente a restrição sobre $m/M$ imposta pela dissipação não negativa e a restrição imposta pela saída efetiva através da borda a jusante. Dê o intervalo que satisfaz ambas.

Abra o treino interativo para responder, consultar uma dica e conferir a resolução. A resolução discursiva é autoavaliada.