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Órbita, impulso tangencial e dedução por pontos de retorno

ITA · 2ª fase

Uma pequena sonda de massa $m$ descreve uma órbita circular de raio $r_0$ em torno de um planeta esférico de massa $M$ e raio $R_p<r_0$. No instante de passagem por um ponto A, um disparo muito breve reduz sua velocidade tangencial para $\eta v_c$, com $0<\eta<1$ e $v_c=\sqrt{GM/r_0}$. A massa da sonda pode ser considerada constante. Após o disparo, só atua a gravitação. Despreze atmosfera, rotação do planeta e sua resposta ao impulso. A energia potencial é $-GMm/r$. (a) Sem usar uma fórmula pronta para a excentricidade, obtenha a distância mínima $r_{\min}$ ao centro do planeta e a velocidade da sonda nesse ponto, usando energia e momento angular. (b) Determine o menor valor de $\eta$ para o qual a trajetória não atravessa a superfície do planeta. Discuta separadamente a situação em que a trajetória apenas toca a superfície. (c) Considere agora um valor de $\eta$ para o qual $r_{\min}>R_p$. A missão pretende circularizar a órbita no ponto de menor distância, por um segundo disparo tangencial. Determine o módulo e o sentido da variação de velocidade nesse segundo disparo, em função de $\eta$ e $v_c$. Compare a energia mecânica removida em cada disparo.

Abra o treino interativo para responder, consultar uma dica e conferir a resolução. A resolução discursiva é autoavaliada.